6-5. 모어원 문제풀이

STUDY/기계공학 -재료역학

6-5. 모어원 문제풀이

ToastedAllie 2019. 11. 15. 21:52

이번 포스팅에서는 모어원 문제를 몇개 풀어보겠습니다.

■문제1. 평면응력 조건 하에 600kPa의 인장응력과 400kPa의 압축응력이 작용할 때 인장응력이 작용하는 면과 30° 의 각도를 이루는 경사면에 생기는 수직응력은 몇 kPa인가?

■ 문제1 풀이.

주어진 조건을 간단하게 정리해봅니다.

σx = 600 kPa (화살표 방향이 인장)
σy = - 400 kPa (화살표 방향이 압축)
τxy = 0 (주어진 값 없음)
경사각 : 30° (그림에서 원점 축 기준 반시계방향으로 경사면이 형성, +로 생각)

그럼 이제 모어원을 그려봅시다

1) A (600,0), B (-400,0) 두 점을 찍고 선분 A-B을 지름으로 하는 모어원을 그린다.

2) y축 값 (전단응력축)이 모두 0이므로, 지름은 굳이 피타고라스를 적용하지 않아도 1000임을 알 수 있다. 즉 R=500

3) 경사각을 적용한다. 반시계방향(+)으로 형성되어있으니 A-B 선분을 반시계방향으로 60° 를 회전시킨다.

(항상 경사각x2 회전)

4) 회전시킨 결과 선분 A'-B'가 생긴다. 경사면에 생기는 수직응력은, A' 의 x축 값이 된다.

5) 직각삼각형의 x값은 250 이므로, x축 좌표값은 100+250 = 350, 즉 답은 350kPa이다.

6) 문제에서는 안물어봤지만 경사면에서의 전단응력값은 A'의 y축값, 즉 500sin60 이 된다.

7) 평면 내에서 발생하는 최대 전단응력은 반지름값 R=500이 된다.

■문제2. 2축응력 상태에서 σx = σy 일 때 전단응력의 최대치는?

■ 문제2 풀이.

σx = σy 이면 모어원이 안그려집니다. 그냥 한 점으로만 찍히겠죠. 즉 모어원의 반지름이 없습니다 (반지름 = 0)

그러므로 모어원 좌표계에서 y축 값도 존재하지 않게 됩니다. 즉 답은 0이 됩니다.

■문제3. 평면응력 상태에 있는 어떤 재료가 2축 방향에 응력 σx > σy > 0 가 작용하고 있을 때 임의의 경사단면에 발생하는 법선응력 σn은? (기사 14년 2회차 3번)

■ 문제3 풀이.

문제 조건에서 σx = σy > 0 라고 했습니다. 정확한 수치를 모르지만, 위치만 알면 아래와 같이 모어원을 그려볼 수 있습니다.

문제에서는 '임의의 경사 단면' 에 발생하는 '법선응력'을 물어보고 있습니다. 기사시험에서 물어보는 법선응력은 우리가 앞서서 계속 구해왔던 수직응력으로 생각할 수 있습니다. 그럼 임의의 경사 선분을 하나 그어보고, 그 선분의 x축 값이 우리가 구하는 문제의 답이 되겠네요.

1) 임의의 경사를 θ 라고 가정합시다. 회전하는 선분 A'-B'는 2θ만큼 회전합니다.

2) A'의 x축 값을 찾기 위해 삼각함수를 이용합니다.

삼각형의 밑변값 x를 구하고, 거기에 C 좌표값을 더해주면 답이 됩니다.