6-1. 모어원 그리는 방법 - 배경지식편

Mohr's circle, 모어원(모어서클) 은 기사시험에도, 그리고 공기업 전공시험에도 단골로 나오는 문제입니다.

그런데 책을 피면 이보다 더 공식이 복잡하고 어려울 수 없습니다.

저는 개인적으로 저런 긴 공식들을 보면 현기증이 오거든요.. 

그리고 실제로, 공식을 외우지 않고도 모어원 문제를 쉽게 풀 수 있는 방법이 있습니다.

간단한 규약만 외워놓고, 삼각함수와 피타고라스정리만 할 줄 알면 쉽게 풀 수 있는 방법이 있어 정리해보고자 합니다.

 

일단 본격적인 문제풀이를 다루기 전에, 문제에서 뭘 구해야 하는건지, 모어원을 그리기 위해 기본적으로 뭘 알아야하는지 알아보도록 하겠습니다.

 

(참고) 왜 이렇게 되나요? 하면 저도 모릅니다..문제 푸는 스킬만 익혀서..^^;;..

 

 

■ 경사단면에서의 평면응력이란? (모어원 문제에서 구해야 하는 것)

그림a. 평면응력이 작용하는 요소

 

위 a번 사각형에 평면응력이 작용하고 있습니다. 우리는 사각형에 수직으로 작용하고 있는 수직응력 σ와, 접선방향으로 작용하고 있는 전단응력 τ 을 알고있다고 가정합시다.

 

그런데, 저 사각형요소에서 '특정각도 θ 만큼 기울어진 면' 의 수직응력, 접선응력은 어떻게 될까요?  

무슨 말인지 아래의 그림을 봅시다.

 

그림c.  θ만큼 회전한 요소

 

조금 비약해서 설명해보자면..

①그림 a와 같이 기존의 평면응력 σ, τ 가 그대로 작용하는 상태에서 (실선화살표)

②요소를 θ만큼 기울이면,

③그 면에서의 새로운 평면응력인 σ'와 τ'가 (점선) 생기게 되고, 바로 이 σ' 와 τ'를 구하는 것이 목적이 됩니다.

 

(실제로 요소는 그림 c처럼 회전하지는 않습니다만 그림으로 이렇게 표현하는 것 뿐입니다.)

 

 

■ 모어원을 그리기 위한 배경지식  

자 위에서 이제 우리가 뭘 구하고자 하는지 알았으니, 본격적으로 모어원을 작도하기 전에 부호규약에 대해 알아봅시다. 사실 부호는 본인이 정의하기 나름이긴 한데, 보통 아래와 같이 풀어서 저도 대세를 따라가겠습니다.

 

1. 전단응력의 부호

모어원 이용한 문제에서 전단응력은 값 하나만 주어집니다. 

요소에 접선방향으로 작용하는 전단응력은 화살표가 오른쪽 위를 향하고 있으면 +, 그 반대면  - 라고 정합니다.

 

(문제에서는 +, - 수치로 주어지기도 하지만, 도형에 화살표와 수치만 표시해놓고 부호를 생략하는 경우가 있습니다. 이런 경우 화살표 방향을 보고 부호를 구분해야 합니다.)

 

 

2. 수직응력의 부호 

수직응력은 인장이면 +, 압축이면 - 입니다.

모어원을 작도할 때 수직응력은 x축 값, y축 값이 따로 나옵니다. (σx , σy)   즉 x,y값 요소가 각각 인장인지 압축인지 판단해서 숫자에 부호를 붙여주면 되겠습니다. 

(문제에서 친절하게 부호와 값이 같이 나와있으면 그대로 풀면 됩니다.) 

예시로 하나만 봅시다.

x축 방향은 인장이니까 +가 되고,  y축 방향은 압축이니 - 가 될 것입니다.

 

 

3. 모어원의 좌표계

모어원을 그릴 때 좌표는 x축이 수직응력,  y축이 전단응력입니다.

특이하게, y축 전단응력은 위가 (-) 입니다. 이것만 주의해주면 됩니다.

 

 

4. 주응력이란?

주응력 (principal stresses) 은 우리가 구하고자 하는 경사면에서의 최대 or 최소의 수직응력을 말합니다.

보통 σ1 (최대),  σ2 (최소)  로 표현합니다.

아직 이해가 안가시겠지만 미리 개념을 알아두자면, 아래와 같이 모어원 좌표계에서 원을 그리면 주응력과 최대 전단응력은 아래와 같습니다.

참고로 모어원문제에서 항상 원의 중심은 가로축 (수직응력축) 위에 있습니다.

 

1) 모어원에서 최대 전단응력은 원의 반지름값과 같다.

2) 최대, 최소주응력은 전단응력이 0 인 지점에서 발생한다 (가로축 위에 있으니까) 

 

모어원에서의 주응력과, 최대전단응력

 

이제 모어원을 그리기 위한 배경지식을 모두 알았습니다.

그럼 다음포스팅에서 본격적으로 어떻게 모어원을 그려야 하는지 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

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