6-3. 모어원 그리는 방법 - 경사각 있을 때

수직응력, 전단응력, 그리고 각도가 모두 주어진 예제 하나를 같이 보면서 경사각이 주어졌을 때의 모어원 문제는 어떻게 풀면 되는지 알아보겠습니다.

※ 풀이가 긴데요.. 설명하려니 풀어써서 그렇고, 방법만 숙지하시면 원 하나에 삼각형 몇개만 그리면 끝납니다. 

 

■ 문제1 하중을 받고 있는 기계요소의 응력상태는 아래와 같다. 선분 (a-a)에서 수직응력과 전단응력은?

■ 풀이

본격적으로 풀기전에, 문제에서 주어진 조건을 정리해봅시다.

• σx =  10 MPa   (화살표 방향이 인장)
• σy =  -5 MPa   (화살표 방향이 압축)
• τxy =  -6 MPa  (포스팅 6-1참조. 전단응력 부호는 화살표가 오른쪽 위를 향하면 +, 그 반대는 -) 
• 경사각 :  45°   (그림에서 원점기준 반시계방향으로 경사면이 형성되어있으므로, +로 생각) 

 

자 그럼 이제 앞 포스팅 6-2에서와 같이, 차근차근히 모어원을 그려보겠습니다.

 

1. 모어원 좌표계에 두 개의 점 A (σx, τ) ,  B (σy, -τ) 를 찍습니다.

 

 

2. A, B 두 점을 잇는 선분을 그리고, 이를 지름으로 하는 모어원을 그립니다.

• 원의 중심점을 미리 파악해 놓습니다. ( 2.5 , 0 ) 이 됩니다.
• 앞에서도 말했지만 A, B 점의 전단응력 자리 값은 부호만 다르고 항상 대칭이므로, 원의 중심은 항상 가로축 (수직응력 축) 위에 놓여있게 됩니다. 

 

 

3. 피타고라스로 원의 지름 (삼각형 빗변길이) 를 미리 파악해놓습니다.

• 직각삼각형의 가로, 세로를 알고있으니 빗변의 길이를 구할 수 있습니다. 19.2 입니다.
• 즉 원의 지름은 19.2,  반지름은 9.6이 됩니다. 
  

 

 

3. 이제 경사각을 적용합니다. A-B 선분을 [경사각 x 2] 만큼 돌립니다.

• 경사각 부호가 +이면 반시계방향으로 돌리고,  - 이면 시계방향으로 돌립니다.  
• 여기서 중요한 것은 경사각을 적용해서 A-B선분을 모어원에서 돌릴 땐, 항상 경사각의 두 배 만큼 돌립니다. 즉 이 문제에서는 [45도 x 2] 인  90도만큼 돌리면 되겠습니다.

4. A-B선분을 회전시킨 자리에 새로운 선분 A'-B' 가 생겼습니다. 이제 이 선분에 우리가 구하고자 하는 특정 각 경사면에서의 응력 요소가 모두 있습니다.

 

※ 문제를 계속 풀기전에 각 응력값이 모어원 위에 어디에 있는건지 보고 가겠습니다.    1) 점 A, B를 이용해 원을 그린 후에는, 이 요소의 최대 최소주응력과 최대전단응력은 항상 아래와 같이 일정합니다.  (각도를 얼마나 돌렸는지에 상관 없이)       2) [θ만큼의 경사면에서 생기는 응력요소]들은 2θ만큼 회전한 A'-B'위에 있습니다.       특별한 조건이 없으면 보통 A' 를 보면 됩니다.

 

 

5. 자, 그럼 우리가 구하고자 하는 응력요소 값은 A' 의 좌표값에 있습니다. 

• A'의 x좌표가 문제에서 물어본 수직응력, y좌표가 전단응력이 됩니다.
• 직각삼각형을 이용해서 구합니다.

 

 

6. 이제 삼각형 길이들을 좌표 원점을 고려해서 좌표값으로 구해주면 됩니다.

• A'는 2사분면에 놓여있습니다. 모어원 좌표계에서 y축 윗방향이 (-)라고 하였으므로, 전단응력값이 - 입니다.
• 마찬가지로 수직응력 (σ x1) 도  2.5 - 6 = -3.5 가 나오게 됩니다.
• 답은 수직응력 = -3.5MPa,  전단응력 = -7.5MPa 입니다.

 

 

풀이가 길고 복잡한거같은데요... 자세히 차근차근 설명하려다 보니 길어진 것 뿐입니다 ㅠ_ㅠ 방법만 알면 쉬워요.

다음 포스팅에서는 예제 몇개 더 풀어보고 모어원 마무리 하겠습니다. 그 땐 풀이를 간단하게 포스팅하겠습니다. 

 

 

 

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