6-5. 모어원 문제풀이

이번 포스팅에서는 모어원 문제를 몇개 풀어보겠습니다.

 

■문제1. 평면응력 조건 하에 600kPa의 인장응력과 400kPa의 압축응력이 작용할 때 인장응력이 작용하는 면과 30° 의 각도를 이루는 경사면에 생기는 수직응력은 몇 kPa인가?

■ 문제1 풀이.

주어진 조건을 간단하게 정리해봅니다.

 

• σx =  600 kPa   (화살표 방향이 인장)
• σy =  - 400 kPa   (화살표 방향이 압축)
• τxy =  0  (주어진 값 없음) 
• 경사각 :  30°   (그림에서 원점 축 기준 반시계방향으로 경사면이 형성, +로 생각) 

그럼 이제 모어원을 그려봅시다

 

1)  A (600,0),  B (-400,0) 두 점을 찍고 선분 A-B을 지름으로 하는 모어원을 그린다.

2)  y축 값 (전단응력축)이 모두 0이므로, 지름은 굳이 피타고라스를 적용하지 않아도 1000임을 알 수 있다. 즉 R=500

3) 경사각을 적용한다. 반시계방향(+)으로 형성되어있으니 A-B 선분을 반시계방향으로 60° 를 회전시킨다.

   (항상 경사각x2 회전)

4) 회전시킨 결과 선분 A'-B'가 생긴다. 경사면에 생기는 수직응력은, A' 의 x축 값이 된다.

 

 

5) 직각삼각형의 x값은 250 이므로, x축 좌표값은 100+250 = 350, 즉 답은 350kPa이다.

 

6) 문제에서는 안물어봤지만 경사면에서의 전단응력값은 A'의 y축값, 즉 500sin60 이 된다. 

7) 평면 내에서 발생하는 최대 전단응력은 반지름값 R=500이 된다. 

 

 

 

■문제2. 2축응력 상태에서 σx =  σy 일 때 전단응력의 최대치는?

■ 문제2 풀이.

σx =  σy 이면 모어원이 안그려집니다. 그냥 한 점으로만 찍히겠죠. 즉 모어원의 반지름이 없습니다 (반지름 = 0)

그러므로 모어원 좌표계에서 y축 값도 존재하지 않게 됩니다. 즉 답은 0이 됩니다.

 

 

 

 

■문제3. 평면응력 상태에 있는 어떤 재료가 2축 방향에 응력 σx > σy > 0 가 작용하고 있을 때 임의의 경사단면에 발생하는 법선응력 σn은?  (기사 14년 2회차 3번)

■ 문제3 풀이.

문제 조건에서 σx =  σy > 0 라고 했습니다. 정확한 수치를 모르지만, 위치만 알면 아래와 같이 모어원을 그려볼 수 있습니다.

문제에서는 '임의의 경사 단면' 에 발생하는 '법선응력'을 물어보고 있습니다. 기사시험에서 물어보는 법선응력은 우리가 앞서서 계속 구해왔던 수직응력으로 생각할 수 있습니다. 그럼 임의의 경사 선분을 하나 그어보고, 그 선분의 x축 값이 우리가 구하는 문제의 답이 되겠네요.

 

1) 임의의 경사를 θ 라고 가정합시다. 회전하는 선분 A'-B'는 2θ만큼 회전합니다. 

2) A'의 x축 값을 찾기 위해 삼각함수를 이용합니다.

 삼각형의 밑변값 x를 구하고, 거기에 C 좌표값을 더해주면 답이 됩니다.

 

문제 보기를 보면 [응력*삼각함수] 의 덧셈으로만 표현이 되어있습니다. 우리도 답을 구할 때 저 형태로 구할 수 있도록 유도해야겠네요.

즉, 보기 중 정답은 [라]가 됩니다. (풀고보니 이문제는 모어원 문제라기보다는 삼각함수 문제같네요) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■문제4. 그림과 같이 지름 50mm의 축이 인장하중 P=120kN 과 토크 T=2.4 kNm 를 받고있다. 최대 주응력은 약 몇 MPa인가?

■ 문제4 풀이.

문제를 보니 '주응력'을 구하라는게 모어원을 이용할 수 있을 것 같긴 한데, 응력과 전단응력이 안나와있습니다.

대신 축의 지름을 주고, 하중을 주고, 토크를 줬으니 응력과 전단응력을 구할 수 있습니다.

조건을 정리해보면 

• σx =  P/A   (화살표 방향이 인장)
• σy =  0  (주어진 값 없음)
• τxy =  T / Zp  

값을 구해서 A (σx, τ) ,  B (0 , -τ) 모어원을 그린 후 정답을 구하면 되겠습니다.

(자세한 풀이는 그냥 단순 계산이니 생략....)

 

2019/10/26 - [STUDY/기계공학 -재료역학] - 6-1. 모어원 그리는 방법 - 배경지식편

6-1. 모어원 그리는 방법 - 배경지식편

문제에서 물어보는 최대주응력이 모어원 상에서 어디를 의미하는건지는 위의 포스팅을 참고해주세요.  

 

 

모어원에 대해 간단하게 쓰려고했는데 어쩌다보니 5개 포스팅까지 쓰게 되었네요.. 좀 두서없이 쓴 것 같아서 아쉽습니다만 최대한 도움이 되었으면 좋겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.

 

 

 

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