5-3. 비틀림 탄성에너지, 코일스프링

■ 비틀림에 의한 탄성에너지

3. 기타 재료의 정역학  포스팅에서 탄성에너지에 대한 설명을 드렸었습니다.

내용에 보면 응력의 종류에 의한 탄성에너지는 아래와 같습니다.

수직응력에 의한 탄성에너지
전단응력에 의한 탄성에너지 비틀림에 의한 탄성에너지

앞의 [5.비틀림]  포스팅에서 비틀림응력은 전단응력의 일종  (전단⊃ 비틀림) 이라는 것을 공부하였고, 또 비틀림각 θ에 대한 공식을 확인했기 때문에 (Pl/GIp), 이제 위의 전단응력에 의한 탄성에너지를 구할 수 있습니다.

T는 토크, θ는 비틀림각을 집어넣으면 될 것입니다.

자세히 보면 탄성에너지 공식이 비슷함을 알 수 있습니다.

[ 1/2   x   변형을 일으키는 힘 (수직응력 or 토크)   x   변형량 (or 비틀림각) ] 

 

 

그러나 최대탄성에너지 u를 살펴보면 전단일 때와 비틀림일 때 다릅니다.

비틀림에 의한 u는, 전단응력의 1/2 배임을 알 수 있습니다.

 

(단위체적당 탄성에너지 = 최대탄성에너지 = 변형에너지밀도)

수직응력에 의한 최대탄성에너지
전단응력에 의한 최대탄성에너지
비틀림에 의한 최대탄성에너지

 

 

■ 코일스프링

위와 같이 원통형의 코일스프링이 있습니다.

• P : 스프링에 작용하는 하중
• d : 소선지름
• R : 코일의 반지름 (반경) 
• D : 스프링 코일의 평균지름 (=2R)

코일스프링에 하중 P가 작용할 때, 소선은 비틀림을 받게 됩니다.

앞에 [5. 비틀림]  에서 원형 봉에 접선력 x 반지름 = 토크가 발생하는 것처럼, 위의 코일스프링도 코일의 반지름 R에 비례하는 토크가 발생하게 됩니다.

T = PR

 

토크는 비틀림이 생기게 하는 모멘트라고 했습니다. 그러면 같은 소선지름, 같은 길이의 철사로 코일스프링을 만들 때, 같은 힘 P를 가했다고 하면  코일의 지름이 클 수록 토크가 크게 발생할 것입니다. 

직관적으로도 P 작용에 따른 토크발생량이 크니, 변형에도 불리할 것 같습니다. 그럼 이제 스프링의 변형량 (처짐량)에 대해서 아래에서부터 차근차근히 알아보겠습니다.

 

 

• 스프링상수, k

스프링상수는 소문자 k로 나타내며, 단위스프링의 강성을 나타냅니다.
문제에 따라 하중 P를 F로 나타내서 F = kδ 로 나타내기도 하는데 모두 같은 뜻으로 보면 되겠습니다.

여기에서 δ는 스프링의 처짐량을 나타냅니다. 

 

• 코일스프링 처짐량, δ

스프링의 처짐량이랑 스프링이 늘어난 길이와 같을 것입니다. 늘어난 길이만큼 처졌을 것이기 때문이죠.

책에서는 보통 δ= 64nPR^3/Gd^4 형태의 식을 제공하고 있는데, 응용식도 나오므로 아래의 내용도 알아두도록 합시다.

 

어떤 코일스프링에 하중 P가 작용하고 있고, 아주 미소한 변형량 (처짐량) 이 발생했다고 가정해봅시다. 이 상태를 코일스프링 위에서 살펴보면 아래와 같은 호가 그려질 것입니다.

이 호를 보면 스프링에 발생한 아주 미소한 변형량 δ 만큼 변형각(=비틀림각) θ 가 발생했습니다.

호의 길이를 구하는 공식은 반지름x각도 이므로, δ=Rθ 입니다.

문제에서는 비틀림각 θ와 R의 정보가 주어졌을 때, 변형량을 구해야 하는 문제가 나오기도 합니다.

위의 식에서 n은 스프링의 유효감김수 (=유효권수, 스프링감김수),   G는 전단탄성계수 입니다.

 

 

• 스프링에서 발생하는 최대 전단응력

여기에서 대문자 K는 응력수정계수로, 스프링상수인 k와 전혀 다른 계수입니다.

문제에서 K가 주어지지 않았다면, 무시하면 되겠습니다.

 

 

• 스프링지수, C

스프링지수 C는 위의 응력수정계수 K와 함께 x,y축으로 된 그래프로 주어져서 K를 찾는데 사용됩니다.

아마 전공시험엔 나올 수 도 있겠지만, 기사시험 문제에서는 그래프를 보고 응력수정계수 K까지 구해야하는 문제는 못봤던걸로 기억합니다.

하지만 스프링지수 개념은 알아둡시다.  가끔 문제 보기에 말장난문제로 나오는 경우도 있는데, 평/소 로 외우면 됩니다.

 

• 스프링 내부에 저장되는 탄성에너지

이 포스팅 첫 부분에 탄성에너지가 있었죠. 형태는 [1/2 x 변형을 일으키는힘 x 변형량] 으로 완전히 똑같습니다.

위쪽에서 k = P/δ에 의해 P = kδ 로 바꿔쓸 수 있으므로 위의 식이 나오게 됩니다.