참고) 차원해석과 상사법칙

■ 차원해석 (Dimensional Analysis)

차원해석은 각종 물리량의 단위 차원을 가지고, 각 물리량과의 관계를 해석하는 방법입니다.

 

기본차원은 아래와 같습니다.

 

 - MLT차원계 : 질량[M], 길이[L], 시간[T]

 - FLT차원계 : 힘[F], 길이[L], 시간[T]

    ex) 속도는 m/s → [LT-1]

    ex) 힘 F=ma에서 kg m/s^2 → [MLT-2]  

 

 

* 버킹엄의 파이 정리 : 차원해석 방법의 하나로, 무차원 변수를 얻는 방법입니다.

어떤 물리현상의 관련변수가 k개,  그리고 k라는 변수들을 이루는 (=변수를 표현하는) 최소한의 기준차원(기본차원) 개수가 r개라고 하면, 관련된 무차원수는 k-r개 유도할 수 있습니다.

 

보통 기사책에는 π (독립무차원수) = n - m  으로 표현되어있는데 k - r과 같다고 보시면 됩니다. 즉,

 

π (독립무차원수) = n-m = k-r

 (n,k : 물리량(변수)의 수   /   m,r : 앞의 물리량을 이루는 기본차원의 수)

 

 

 

■ 상사법칙 (Similarity law) 이란?

Similarity, 말그대로 '닮은, 비슷한' 법칙 이라는 뜻입니다.

어떠한 현상의 실험을 하고싶은데 자연현상을 우리가 임의로 실험한다거나, 거대한 실제 구조를 만들기엔 어렵습니다. 

그래서 우리는 주로 실험을 할 때 축소 모형을 만들거나 비슷한 실험조건을 갖춰서 실험을 하게 됩니다. 이렇게 축소모형의 실험 결과를 실제 원형조건으로 환산하는 것을 말합니다. 

 

우리가 뭔가 물리량을 비교할 때는 보통 비율로 비교를 합니다. 즉 어떤 특정 변수를 조정하면, 실제로 어떤 특성이 몇 배가 증감하는지를 알려면 '무차원'이어야 합니다. 흔히 생각하는 2배, 3배는 단위가 없는 숫자(비율) 이니까요. 

이러한 무차원 상사법칙을 도출하기 위해서 위와 같은 '차원해석'이 이뤄집니다. 

 

그럼 시험에 자주나오는 상사법칙(무차원수) 에 대해 아래와 같이 정리해보겠습니다.

사실 다 이해가 되지는 않는데요,, 개념만 알고있으면 문제를 보자마자 바로 맞출 수 있는 보너스 분야이기도 합니다. 

특히 레이놀즈수는 너무너무 중요해서, 나중에 또 따로 다루겠습니다.

 

참고로 상사법칙에서 중요한것은 정의도 중요하지만, 그 무차원수가 쓰이는 응용분야를 아는것도 중요합니다. 문제에서 자주 나오곤 하는 듯 합니다.

 

※ 표는 컴퓨터, 태블릿 화면에서 보시는게 가시성이 더 좋습니다.

구분	정의	보충
레이놀즈수		* 강제대류에서의 층류와 난류를 구분하는 척도  * 응용분야 : 양력, 항력, 관로 내 마찰손실(관유동), 경계층유동, 잠수함(=어뢰), 파이프 등
프루드수		* 응용분야 : 자유표면을 갖는 유동, 개수로, 선박(배), 파고저항, 강에서의 모형실험, 조파현상, 수차, 수력도약 * 왼쪽의 분모 h는 수심(or직경) 을 의미합니다. 경우에 따라 ℓ 혹은 L로 표현하기도 합니다.
코시수		* 압축성 유체의 운동
웨버수		* 응용분야 : 기체-액체 or 액체-액체상의 경계면, 표면장력파, 오리피스, 위어, 물방울 형성, 작은 직경의 관 내에서의 유동 * 표면(계면)장력의 영향을 나타내며, We가 작을수록 표면장력이 크다는 의미입니다.
오일러수 = 압력계수		* 유체의 유동은 유체 내 두 지점에서의 정압차이(압력차)에 의해 만들어집니다. 또한 관성력은 동압으로 볼 수 있습니다. * 즉 정압/동압  으로도 표현 가능합니다.   (보통 책에는 오일러수=압(축)력/관성력, 압력계수=정압/동압 으로 별개로 나와있는데 같은 의미라고 합니다. 그러나 시험에 나오면 헷갈릴 수 있으니 따로 외워두면 좋을 것 같습니다.)  잘 안외워지면 압 = (구)정동 으로 외우기
마하수		* 응용분야 : 압축성유동 (풍동실험, 고속 항공기, 로켓 등)  * Ma<0.8인 경우 아음속 (책에는 1로 나와있는 경우도 있습니다), 보통 이 영역에선 유체를 비압축성이라고 가정할 수 있음 * Ma<0.3인 경우 기체 또한 비압축성으로 가정할 수 있음   * 음속 a에 대한 참고식
프란틀수		* 동점성에 대한 열분자 확산도의 비. 강제대류의 열전달 특성 * 기체에서의 프란틀수는 0.7 ,  엔진오일은 약 100~4만   → Pr 크면 확산정도가 열<운동으로, 열확산이 느림   → Pr 작으면 확산정도가 열>운동으로, 열확산 잘됨
넛셀수 (=누셀수, 너셀수)
스트라홀수 (스트로우홀수)		* Sr = fℓ / V로 표현하기도 하며, f는 진동수, ℓ 은 특성거리 (두께or직경 등)
그라쇼프수		* 자연대류에서의 층류와 난류를 구분하는 척도   (레이놀즈수와 구분) * 온도차에 의한 부력이 속도 및 온도분포에 미치는 영향
스테판수
푸리에수		* 비정상 열전도 상태를 나타내는 무차원수
레일리수		* (자연대류) 유체층 속에서 열대류가 일어나는지 여부를 결정  * 보통 대류 발생에 필요한 임계 레일리값을 1,000으로 봅니다.   (Ra>1000 :  대류발생  /  그 이하는 '전도'형태로 열전달

 

추가해야할 내용이 있으면 지속적으로 업데이트 하겠습니다.

 

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