8. 편심하중을 받는 기둥, 핵반경 (핵심반경)

2021. 1. 30. 17:57

● 편심하중을 받는 기둥 (단주)

우리 주변에서 볼 수 있는 기둥은 보통 원통형이나 사각형 형태입니다. 이 기둥에 분포적으로 하중이 가해지지 않고, 특정 부분만 편심되어 하중이 가해진다면, 그 응력분포는 어떻게 될까요?

아래의 왼쪽 그림과 같이 기둥 중심점에서 오른쪽으로 a만큼 떨어진 지점 (편심거리) 에 하중 P (=편심하중)가 가해져있는 기둥이 있다고 합시다. 그럼 당연히 오른쪽에 더 많은 압축이 작용할 것입니다.

이를 나눠서 분석해보면 → 편심하중 P에 의한 응력분포는, 중심점에 가해지는 하중 P에 의한 응력분포 + a만큼 떨어진 거리에서 발생하는 모멘트 M에 의한 응력분포 로 나눠서 생각해볼 수 있습니다.

즉 왼쪽의 분포도는, 오른쪽 두 개의 응력분포를 더한 값이 됩니다.

이에 따라 응력의 최대 최소값이 생기게 됩니다.

즉 문제에서 편심하중이 가해져있고, 어느 특정위치의 응력을 물어본다면, 그 부분이 모멘트에 의한 압축력 (+) 이 작용하는건지, 인장 (-)이 작용하는건지 판단해서 응력값을 구해주면 됩니다.

그럼 여기에서 모멘트에 의한 굽힘응력을 구할 땐 M/Z 로 구하게 되는데요.

여기에서 헷갈리는게 ~~(저만 헷갈리나여?)~~ 직사각형 단면의 경우 Z를 구할 때 b가 어디고 h가 어디냐는 겁니다.

직사각형에서 Z = bh^2 / 6으로 구합니다. ※ 포스팅 [4. 모멘트, 단면(관성)모멘트, 단면계수 등] 참조

보통 x축 방향이 b값, y축방향에 h값을 대입해서 푸는데요,

직사각형 기둥에서 단면을 생각했을 땐 b와 h가 반대입니다.

위의 그림처럼 우리는 기둥을 우리가 아는 기둥모양으로 해석했지만, 실제로 재료역학에서는 아래와 같이 보와 같은 관점으로 해석하는 듯 합니다.

원형이면 단면계수 Z구하는게 어차피 반지름만 알면 되니 상관 없지만, 직사각형 기둥도 이런 관점에서 생각해본다면 아래와 같게 되겠죠. 왼쪽그림은 참고만 해주시고... 실제로 책에는 오른쪽과 같은 좌표계로 설명이 되어있습니다.

즉 x축이라고 생각했던 가로축이 y축입니다.

"엄밀히 따지면 직사각형 단면계수 구할 때의 b, h는 x,y 2차원에서 생각하는거 아님? 근데 따지면 b는 z축인데?" 라고 물어보시면 제 내공이 부족한 관계로 답변은 못해드리니.. 그냥 그런가보다 해주세요.. ㅜ.ㅜ

아무튼 중요한건 직사각형 기둥에서 단면에 대한 Z를 구할 때 b, h가 오른쪽 그림과 같이 가로가 h이고 세로가 b라는 것입니다.

위에서 기둥에 대한 편심하중에 대해 알아봤습니다.

핵심반경은 편심하중과 관련된 개념인데요, 기둥에 정가운데 하중 P가 가해질 땐 아래의 첫번째 그림과 같이 균일하게 응력이 작용할 것입니다. 즉 압축이 작용하죠.

그런데 점점 이 하중이 끝쪽으로 편심되어 작용한다면? 응력분포가 위와 같게 될 것입니다. P가 작용하는쪽으로 압축력이 크게 작용하죠. 즉 위에서 봤던 σ max 값은 점점 커지고, σ min 값은 점점 작아지는 겁니다.

그러다 P가 어느 지점까지 이동하게 되면, 반대편에 인장이 작용할정도가 됩니다.

보통 기둥은 콘크리트로 설계를 하는데, 콘크리트는 압축엔 강한데 인장에는 매우 약하다고 합니다. 인장을 받게되면 크랙(파괴)가 쉽게 일어난다고 합니다. (가해지는 하중에 의한 모멘트를 최대한 작게 설계하는게 관건)

이러한 개념을 빌어보면, 기둥에 작용하는 하중에 의해 인장이 발생하지 않게 하는 하중 작용범위, 즉 압축만 일어나는 범위를 핵반경 이라고 합니다.

기둥의 중심에서 편심된 거리 a를 미지수로 놓고, σ min = 0 을 만족하는 a값을 구해보면 위와 같이 원형과 사각형 단면에서 각각 값이 구해집니다. 유도해보시면 쉽게 구할 수 있습니다.

좌굴까지 같이 포스팅 하려고 했는데 그림이 많아서 그런지 많이 길어지네요... 좌굴은 다음포스팅에 이어서 하겠습니다.

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