8-2. 기둥의 세장비와 좌굴현상 (오일러의 공식)

● 세장비

기둥이 얼마나 가느다란지를 나타내는 정도를 세장비라고 합니다.

이 세장비 값이 클수록 길고 가느다란 기둥이라고 볼 수 있습니다.

여기에서 기둥의 최소회전반경인 K (=최소 단면2차 반지름이라고도 함) 를 구할 땐 반드시 '최소'단면2차모멘트 I 값을 대입해줍니다.

기둥 단면이 직사각형이라면 공식에 의해 b, h를 구하는데요,

여기서 '최소' I값을 구해야 하므로 직사각형 단면 가로 세로 중 작은값을 h에 대입해줍니다. 그래야 최소값이 나오겠죠.

앞에서 b,h를 구분해야 했던 것처럼 하지 않고, 그냥 작은 값을 h에 대입합니다. (그래야 계산값이 최소로 나옴)

 

세장비 공식에서 K는 분모자리에 있습니다. 즉 K가 클수록 = 최소단면2차모멘트가 클수록 = 세장비가 작아진다는 의미이고 기둥이 가느다란게 아니라 뭉툭한? 기둥이라고 볼 수 있겠죠.

 

세장비 λ 의 값에 따라 아래와 같이 기둥을 나눕니다.

λ값	30이하	30~ 160	160이상
구분	단주 (Short column)	중간주 (Medium column)	장주 (Long column)

 

같은 길이, 같은 단면적을 각진 기둥1과 기둥2가 있다고 가정해봅시다. 그 단면적은 각각 아래와 같습니다.

 

 

 

모멘트 관련 포스팅에서와 같이, 단면2차모멘트가 클수록 굽힘에 대한 강성이 커지며 구조적으로 안전해집니다.

 

같은 길이, 같은 단면적이라도 기둥1보다 기둥2가 안전하다고 보여집니다. (직관적으로도)

실제로 최소 단면2차모멘트 값이 기둥2가 더 크기때문에, 기둥2의 K값이 더 클 것이고 세장비는 더 작을 것입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

● 좌굴현상과 단말계수, 오일러의 공식

좌굴현상이란 장주에서 압축하중을 받을 때, 특정 이상의 하중을 받으면 기둥이 휘는 (굽어지는) 현상 (=횡방향으로 굽힘이 일어남)입니다.

(참고로 좌굴은 재료가 불균질해도 발생합니다) 

 

기둥이 좌굴을 일으키기 시작하는 하중의 크기를 좌굴하중이라고 하며, 이는 기둥이 좌굴 없이 정상 형태로 부담할 수 있는 최대하중으로 볼 수 있습니다. (임계하중, 임계응력으로도 불립니다)

 

또한 아래의 좌굴하중과 좌굴응력, 그리고 아래에서 설명되는 좌굴의 형태를 오일러가 연구했다고 해서 오일러의 공식, 오일러의 하중 등으로도 표현됩니다.

 

참고로 EI는 휨강성인거 아시쥬?

 

위의 식에서 n값은 단말계수라는 것인데, 나오는데, 단말계수 n이란 기둥을 지지하는 지점 형태에 따라 정해지는 상수로, n이 클수록 좌굴이 늦게 일어납니다. (즉 더 안정적이고 강한 기둥이라는 의미겠죠)

이를 표로 정리해보면 아래와 같습니다.

 

동그라미는 핀으로 생각하시면 됩니다. (핀고정 or 핀지지 = 회전)

 

기둥 조건(단말조건)
기둥 상태	고정-자유	양단회전	고정-회전	양단고정
단말계수 n	1/4	1	2	4
좌굴길이(유효길이)	2ℓ	ℓ	0.707 ℓ	0.5ℓ

 

위에서 기둥 상태에 따른 단말계수를 1/4 - 1 - 2 - 4  꼭 외워두시고, 각각의 의미 (고정-자유인지, 양단회전인지 등)도 반드시 알아야 합니다.

 

참고로 기둥 상태 종류별로 좌굴이 되는 모양 (형상)을 다르게 그렸는데요, 양단의 고정조건에 따라 저런 형상으로 좌굴이 일어난다고 합니다.

 

 

◆ 좌굴길이 (유효길이)

맨 아래에 좌굴길이 (유효길이)는 무엇일까요? 어떤 상태의 기둥을 양단회전상태인 (양단이 핀으로 지지된 상태인) 기둥으로 바꿨을 때 그에 등가하는 길이를 말합니다.

(전공책에 의하면 - 원래기둥의 처짐곡선의 전부 또는 일부와 정확하게 부합하는 처짐 곡선을 갖는 '양단 회전상태'인 기둥의 길이)  

 

즉 좌굴하중과 좌굴응력을 구할 때 사용하는 길이값 입니다.

 

그런데 위에서 좌굴하중이나 좌굴응력 구할 때는 그냥 기둥길이 ℓ을 쓰잖아요? 그 이유는 이미 저 식에 유효길이 형태로 대입되어 있기 때문입니다. 앞에 식 앞에 n을 곱하는 이유가 바로 유효길이 제곱 값을 대입했기 때문이죠.

 

 

유효길이에 대한 내용은 그림으로 보면 설명이 좀 더 쉬운데요. 대략 이런 개념입니다.

sin 곡선을 생각해보면 sin(x) 와 sin(2x), sin(0.5x) 가 파형이 다르잖아요? 저걸 유도할 때 sin곡선에서 유도하는 듯 한데 기사시험 범위를 벗어나니 생략하겠습니다. (사실 깊게 들어가고싶지 않네여)

 

 

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