3. 기타 재료의 정역학 (조합단면,자중,열응력,탄성에너지,카스틸리아노정리)

■ 조합단면

시험에 자주 나오는 것 중 하나가 '조합단면' 인데, 여러 부재가 합쳐져 있을 때의 변형량과 응력을 구하는 것입니다.

크게 직렬/병렬 조합단면이 있는데, 모두 σ=P/A, 그리고 변형량 λ 공식만 알고 있으면 전체 변형량을 도출해낼 수 있습니다.

 

먼저 직렬조합단면에 대해 알아보겠습니다. (직렬 = 서로 다른 단면적의 부재가 일자로 쭉 연결되어있는 경우)

 

<직렬조합단면>

단면적이 서로 다른 부재 2개가 붙어있고, P라는 하중이 작용하고 있습니다.

 

즉, [직렬조합단면의 전체 변형량 λ = 1번부재 변형량 + 2번부재 변형량] 이 됩니다.  

 

 

<병렬조합단면>

두 재료 (1,2번) 가 강성판 사이에서 인장하중 P를 받고 있습니다.  위와 같이 재료가 배치되어 있는 경우를 병렬조합다면이라고 하며, 재료 1,2번의 응력의 비는 각각의 탄성계수에 비례합니다.

그러므로 식 (2)번과 같이 응력을 구할 때에도 재료별 탄성계수를 제외한 분모/분자는 모두 같음을 알 수 있습니다.

 

※ 병렬조합단면에 대한 보충자료입니다. (20.5/1추가)

2020/05/01 - [STUDY/기계공학 -재료역학] - 3-2. 병렬조합단면 보충

3-2. 병렬조합단면 보충

 

 

■ 부재의 자중을 고려한 응력 및 변형량 , 전하중

부재는 실제로 자체가 가지고 있는 자중이 있기 때문에, 이를 고려해서 응력 및 변형량을 구하는 경우가 있습니다.

문제에서 '자중을 받으며, 단위체적에 대한 중량, 자중에 의한~~~ ' 의 문구가 보일 땐 아래의 식을 기억합니다.

 

※ 부재의 자중에 의한 응력과 변형량

 

위에서 보시면 균일단면의 응력 및 변형량만 외워놓으면 됩니다. 원추형의 응력과 변형량은 균일단면 값의 1/3 이기 때문입니다.

 

그럼 어떤 부재에 하중 P도 가해지고, 자중도 고려할 때 응력과 변형량은 → 우리가 이미 알고있는 공식에, 위의 표에 나온 σ, λ 값을 추가로 더해주면 됩니다. 식 (3) 을 참조합니다.

 

또한 '어떤 봉의 무게가 W 일 때의 신장량' 을 W에 대한 식으로 나타내야 할 때가 있습니다. (4)번에 전하중=무게=W 식을 참조하시면 됩니다. 

 

■ 열응력

어떤 부재가 있을 때, 일반적으로 온도가 상승하면 부재는 팽창하고, 온도가 하강하면 부재는 수축합니다.

그럼 부재의 고정 상태에 따라, 어떻게 온도의 영향을 받는지 알아보겠습니다.

 

위와 같이 부재가 양 단 고정일 경우에 열응력이 발생하게 됩니다.

왼 쪽 그림처럼, 초기 온도 t1대비 나중온도 t2가 상승하게 되면, 부재 내부에서는 점선으로 된 화살표와 같이 팽창하려고 합니다. 하지만 양 단이 고정되어 있기 때문에, 부재 내부의 팽창하는 힘에 대한 반력 P가 부재를 압축하는 방향으로 작용하게 됩니다. 

 

반대로 초기온도대비 나중온도 t2가 하강하게 되면, 부재 내부는 점선과 같이 압축하려고 합니다. 그럼 부재 내부의 압축하는 힘에 대한 반력 P가 양 단에서는 인장하는 방향으로 작용합니다. 

 

문제에서 △t (온도변화), α (선팽창계수), E (세로=종탄성계수=Young's Modulus) 가 주어질 때 아래와 같은 값들을 구할 수 있습니다. 열응력 공식은 반드시 외우도록 합니다. 

구 분	식	유도과정
열에 의한 변형률
열응력
열에 의한 변형량 (=신장량 or 압축량)
열에 의한 힘

 

그럼 양 단 고정이 아닌 경우는 어떻게 될까요?  아래의 두 그림을 봅시다.

첫번 째 그림에서, 한 쪽 단만 고정되어있고 나머지는 자유인 경우, 열응력은 발생하지 않습니다. 왜냐하면 온도변화에 따라 부재가 팽창하거나 압축할텐데, 한쪽 끝 단이 자유이기 때문에 부재를 저항(=구속,지탱) 할 수 있는 반력이 발생하지 않습니다. 

그러므로 한쪽 단만 고정되어 있는 경우, 열응력 σ=0 입니다.

 

두번째 그림은 부재의 길이가 양 고정단보다 짦은 경우입니다. a만큼의 거리가 있습니다.

온도가 하강한다면 부재는 수축할테니 당연히 열응력은 0 일 것이고, 온도가 상승하는 경우 부재는 팽창하기때문에 열에 의한 변형량(신장량) 이 발생하게 됩니다.

그 신장량 λ 을 구해서  λ > a 이면 부재에 응력이 발생할것이고,  λ < a 이면 첫번째 그림과 같이 한쪽 단 자유와 같은 상황이기 때문에 응력은 발생하지 않습니다.

 

그럼 λ > a 라고 할 때 벽에 미치는 힘은 (λ-a) 에 의해 생깁니다. 수식으로 보면 아래와 같습니다.

 

 

 

■ 탄성에너지

재료가 외력에 의해 변형을 받으면 여러 에너지 형태로 저장됩니다. 그 중 원래 형태로 돌아가려는 탄성에너지가 재료 내부에 축적되는데, 수직응력과 전단응력에 대한 탄성에너지 U가 다릅니다.

수직응력에 의한 공식만 알면, 전단은 기호만 바꾸면 됩니다.

 

• 수직응력에 의한 탄성에너지

최대탄성에너지는 동일한 명칭이 여러개 있으니 모두 알아두도록 합니다.

 

 

• 전단응력에 의한 최대탄성에너지

그럼 수직응력 말고, 전단응력이 주어졌을 때 최대탄성에너지는 어떻게 구하면 될까요?

σ → τ,  E → G,  ε → γ 로 바꿔주면 됩니다.

 

• 굽힘탄성에너지

분자에 엘(l)은 길이 (ℓ) 입니다. 대문자 아이(I)와 좀 헷갈리게 보이네요.

 

 

 

■ 카스틸리아노(카스티리아노)의 정리

정의 1) 어떤 탄성 구조물의 변형에너지를 변위에 대해 편미분한 값 = 하중(힘) 이다.

정의 2) 어떤 탄성 구조물의 변형에너지를 하중에 대해 편미분한 값 = 변위 이다.

          (변위 = 에너지의 힘을 도함수로 나타낸 값)

 

수식으로 표현해보면 아래와 같습니다.