4. 모멘트, 단면(관성)모멘트,단면계수 등

■ 모멘트

모멘트 설명에 앞서, 시험에 매우 자주 나오는 각종 모멘트와 단면계수 공식을 정리하고 시작하겠습니다.

(당연히 도형별로 모두 모멘트 값이 있지만, 기사시험이나 전공시험에 자주 나오는 도형만 작성하였습니다.)

 

 

◆도형별 관성/극관성모멘트, 단면/극단면계수

 

특히 두번째, 원의 경우 I부터 Zp까지 외워놔야 문제를 빠르게 풀 수 있으므로, d의 차수와 분모 64-32-32-16에 주의하여 암기해놓으면 시험에서 헷갈리지 않고 쓸 수 있습니다.

 

그럼 이제 아래에서부터 각 용어와 의미에 대해 알아보겠습니다. 아래의 내용들은 나중에 다룰 비틀림, 보에서도 나오기 때문에 의미도 함께 알아두시면 좋습니다.

 

 

• 1. 모멘트란?

: 물체를 회전시키려는 힘  ( M = 힘(F) X 회전축에서 힘이 작용하는 선상의 수직길이)

 

아래와 같은 부재에 F라는 힘을 가하면, 파란색 화살표와 같이 회전하려는 힘이 발생합니다. 이를 모멘트 M이라고 하며, M=Fa  로 표현할 수 있습니다.

 

• 2. 단면1차모멘트란?  (Qx, Qy)

: 복합도형의 (직관적으로 중심을 알 수 없는) 중심을 구하는 데 이용

: 우리가 생각하는 '힘' 과 직접적인 관련은 없음. (단면1차 모멘트 자체가 큰 의미를 지니지는 않습니다.) 

 

fig. 2

단면1차모멘트는 도형에서, 미소면적 dA 와 거리를 곱한 값의 합 입니다.

이는 도심까지의 거리 x 도형의 면적과 같습니다. 즉 단면1차모멘트 값과 도형의 넓이를 알면 도심을 구할 수 있습니다.

 

 

 ※ 위에서 말한 모멘트처럼 '회전하려는 힘' 보다는 [ (미소면적x거리) 의 합 ] 과 같이 모멘트식과 유사하다는 점에서 '모멘트'라는 이름을 붙입니다)

 

 

 

• 3. 단면2차모멘트 = 관성모멘트 (Ix, Iy), 그냥 I로도 표현

: 물체의 굽힘강성=휨강성 (굽힘=휨에 대한 저항)을 알기 위해 구함  (단면계수 Z와 관련) 

 이 값이 클수록 굽힘에 대한 강성이 커지며, 구조적으로 안전해집니다.

 

  (나중에 외력에 의한 처짐 값을 구할 때 EI가 분모값으로 나옵니다.  EI (탄성계수 * 관성모멘트) 값을 휨강성이라고 하며, 이 값이 클수록 분모가 커지기때문에 처짐이 작다는 것을 알 수 있습니다)

 

관성모멘트는 바로 위의 그림 fig.2 에서 곱해주는 거리의 차수만 달라집니다. 

 

※ 단면1차, 2차 는 '거리의 차수' 가 좌우합니다. 단면1차모멘트는 식 내의 거리차수가 1차이고, 단면2차모멘트는 2차 입니다.

 

도형별 단면2차모멘트는 모르면 시험문제를 못 풀 정도로 기본이 되는 값인데요, 매번 유도를 할 수는 없으니 도형별로 단면2차모멘트 값은 외워놓는게 좋습니다. 도형별 모멘트 정리는 가장 아래에 언급하겠습니다. 

 

 

 

 

 

• 4. 단면계수 Z 

단면계수가 클수록 안정적인 단면이라고 볼 수 있습니다. (굽힘강도가 커짐) 

바로 위의 관성모멘트 I는 값이 클수록 굽힘강성(휨강성) 이 커진다고 말씀드렸습니다.

단면계수는 분모가 e (최외각거리), 분자가 I 이므로  ---> 최외각거리가 짧을수록 (부재가 길지 않을수록), 그리고 관성모멘트가 클수록 안정적인 단면이다. 라고 볼 수 있습니다.

 

반드시 암기!

 

여기에서 최외각거리 e는 도형의 '도심축' 으로부터 도형 단면의 가장 외각(끝) 거리 입니다. 예를들면 아래 fig.3과 같습니다. 문제에서 '지름' 또는 '높이'를 알려주는 경우 e값에는 나누기 2를 해서 대입해야 함에 주의합니다. 

fig.3

 

 

 

• 5. 극단면2차모멘트 = 극관성모멘트 (Ip)

: 물체의 회전강성 (비틀림에 저항) 을 알기 위해 구합니다. 

극관성모멘트 값이 클수록, 비틀림에 대한 저항이 커져서 구조적으로 안전하다고 볼 수 있습니다.

 

• 6.  극단면계수 Zp

Zp의 분자는 Ip이기 때문에, 극단면계수가 클수록 비틀림에 대한 저항이 커진다고 볼 수 있습니다.

비틀림은 전단응력의 일종이므로, Zp가 클수록 전단응력이 작아진다 (전단에 대한 저항력이 생긴다)고 봅니다.

왜냐하면 전단응력 τ = T / Zp 입니다. Zp가 분모에 있으므로, 이 값이 클수록 전단응력이 작아짐을 알 수 있습니다. 전단에 대해서는 나중에 포스팅에서 다루겠습니다.

 

극단면계수의 공식은 아래와 같습니다. 단면계수와 형태는 같고, 분자가 I 이냐 Ip이냐의 차이입니다.